Algebra 8: CASOS DE FACTORIZACION

CASOS DE FACTORIZACION

1) Factor Común Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

$\begin{displaymath}{x^3y}+{x^2x^2}-{2xy}={xy(x^2+xy-2)}\end{displaymath}$

2) Factor Común por agrupación de términos Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:

$\begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)}\end{displaymath}$

3) Casos para Trinomios Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
El segundo término es igual a dos vces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o difeencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza asi:

$\begin{displaymath}{a^2}+-{2ab}+{b^2}={(a+-b)^2}\end{displaymath}$

Diferencia de cuadrados: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

$\begin{displaymath}{x^2}-{y^2}={(x+y)(x-y)}\end{displaymath}$

Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}-{b}\end{displaymath}$

si n es par y

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}$

si n es impar

$\begin{displaymath}{a^n}+{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}$

se factoriza asi: si n pertenece a z

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a-b)({a^n-1}+{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}+{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

si n es par

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}-{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

si n es impar

$\begin{displaymath}{a^n}+{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=x(a+b)+y(a+b)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=(a+b)(x+y)}\end{displaymath}$

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo:

$\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}$

resolviendolo nos queda:

$\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}$

Aplicamos diferencia de cuadrados:

$\begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}$

Trinomio cuadrado de la forma ${x^{2n}}+{bx^n}+{c}$

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
Existen dos números que :

$\begin{displaymath}{M}+{m}={b} y {M}.{m}={c}\end{displaymath}$

es decir:

$\begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}={({x^n}+{M})({x^n}+{M}}\end{displaymath}$

Trinomio cuadrado de la forma ${ax^{2n}}+{bx^n}+{c}$

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

$\begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}$

de la siguiente forma:

$\begin{displaymath}{ax^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}$

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

$\begin{displaymath}\frac{a(ax^2n+bx^n+c)}{a}\end{displaymath}$

y se opera, dando como resultado:

$\begin{displaymath}\frac{(ax^n)^2+b(ax^n)+ac}{a} \end{displaymath}$

Algebra 8

martes, 21 de junio de 2011

CASOS DE FACTORIZACION

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