Algebra 8

CASOS DE FACTORIZACION

1) Factor Común Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

$\begin{displaymath}{x^3y}+{x^2x^2}-{2xy}={xy(x^2+xy-2)}\end{displaymath}$

2) Factor Común por agrupación de términos Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:

$\begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)}\end{displaymath}$

3) Casos para Trinomios Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
El segundo término es igual a dos vces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o difeencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza asi:

$\begin{displaymath}{a^2}+-{2ab}+{b^2}={(a+-b)^2}\end{displaymath}$

Diferencia de cuadrados: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

$\begin{displaymath}{x^2}-{y^2}={(x+y)(x-y)}\end{displaymath}$

Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}-{b}\end{displaymath}$

si n es par y

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}$

si n es impar

$\begin{displaymath}{a^n}+{b^n}/{a}+{b}\end{displaymath}$

se factoriza asi: si n pertenece a z

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a-b)({a^n-1}+{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}+{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

si n es par

$\begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}-{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

si n es impar

$\begin{displaymath}{a^n}+{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}+{a^n-n}{b^n-1})}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=x(a+b)+y(a+b)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=(a+b)(x+y)}\end{displaymath}$

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo:

$\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}$

resolviendolo nos queda:

$\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}$

Aplicamos diferencia de cuadrados:

$\begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}$

Trinomio cuadrado de la forma ${x^{2n}}+{bx^n}+{c}$

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
Existen dos números que :

$\begin{displaymath}{M}+{m}={b} y {M}.{m}={c}\end{displaymath}$

es decir:

$\begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}={({x^n}+{M})({x^n}+{M}}\end{displaymath}$

Trinomio cuadrado de la forma ${ax^{2n}}+{bx^n}+{c}$

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

$\begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}$

de la siguiente forma:

$\begin{displaymath}{ax^{2n}}+{bx^n}+{c}\end{displaymath}$

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

$\begin{displaymath}\frac{a(ax^2n+bx^n+c)}{a}\end{displaymath}$

y se opera, dando como resultado:

$\begin{displaymath}\frac{(ax^n)^2+b(ax^n)+ac}{a} \end{displaymath}$

Álgebra básica

Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias.

Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.

Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas.

Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.

Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).

En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.

La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.

Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.

Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas.

Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

Por ejemplo:

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica.

Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).

Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:

1) como decimales finitos

2) como decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.

Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.

En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.

Algebra 8

martes, 21 de junio de 2011

CASOS DE FACTORIZACION

jueves, 31 de marzo de 2011

ALGEBRA 8º